Session Rattrapage

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1,1,1)$, $B(2,0,1)$ et $C(-2,-2,4)$. Soit $(P)$ le plan d'équation $x + y - 2z + 12 = 0$.

1. 1. Montrer que $\vec{OA} \wedge \vec{OB} = \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$. 0.25 pt
   2. Déduire que les plans $(P)$ et $(OAB)$ sont parallèles. 0.25 pt
   3. Vérifier que : $\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = -2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite $(OC)$. 0.25 pt
   4. Vérifier que $C \in (P)$ et montrer que la droite $(OC)$ est orthogonale au plan $(P)$. 0.5 pt
2. Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega(a, b, c)$, tangente au plan $(P)$ au point $C$ et coupée par le plan $(OAB)$ suivant un cercle $(\Gamma)$ de centre $O$ et de rayon $r = 4\sqrt{3}$.
   1. Vérifier que $\Omega \in (OC)$ et déduire que $a = b$ et $c = -2a$. 0.5 pt
   2. Montrer que $O\Omega = |a|\sqrt{6}$. 0.25 pt
   3. Vérifier que $d(\Omega, (P)) = |a+2|\sqrt{6}$. 0.25 pt
   4. Montrer que $a = 1$ (Remarquer que $\Omega C^2 - \Omega O^2 = 48$) puis déduire les coordonnées de $\Omega$ et le rayon $R$ de la sphère $(S)$. 0.75 pt

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $a = \sqrt{3} + i$, $b = \bar{a}$ et $c = 2\sqrt{3}$.

1. 1. Montrer que $\frac{a-c}{a} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. 0.5 pt
   2. Écrire le nombre complexe $-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ sous forme trigonométrique. 0.25 pt
2. Soit $R$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a) + a$.
   1. Vérifier que $R$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle. 0.5 pt
   2. Montrer que $R(O) = C$. 0.5 pt
3. Soit $D$ le point d'affixe $d$ tel que $R(B) = D$.
   1. Montrer que $d = 2\sqrt{3} + 2i$ et déduire que les points $A$, $D$ et $O$ sont alignés. 0.5 pt
   2. Montrer que $\frac{c-b}{d} = \frac{1}{2}$. 0.5 pt
   3. Montrer que $OB = DC$. 0.25 pt
   4. Déduire que le quadrilatère $OBCD$ est un trapèze isocèle. 0.5 pt

Une urne contient quatre boules blanches numérotées : $0 ; 0 ; 1 ; 1$ et deux boules noires numérotées : $0 ; 1$. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne. On considère les évènements suivants :

• $A$ : « Les deux boules tirées sont de même couleur. »
• $B$ : « La somme des nombres portés par les deux boules tirées est égale à 2. »

1. 1. Montrer que $p(A) = \frac{7}{15}$. 0.5 pt
   2. Montrer que $p(B) = \frac{1}{5}$. 0.5 pt
2. Montrer que la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé est $p(B/A) = \frac{1}{7}$. 0.5 pt
3. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque tirage, associe la somme des nombres portés par les deux boules tirées.
   1. Copier et compléter le tableau ci-dessous, qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ : 0.75 pt

      $x_i$	0	1	2
      $p(X = x_i)$

   2. Montrer que l'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X) = 1$. 0.25 pt

Partie I :
On considère la fonction numérique $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^{2x} - 1$.

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $g(x) = 0$. 0.25 pt
   2. Vérifier que $g(x) < 0$ sur $]-\infty, 0[$ et que $g(x) > 0$ sur $]0, +\infty[$. 0.5 pt
2. Montrer que $\int_{-\ln 2}^{\ln 2} |g(x)|\,dx = \frac{9}{8}$. 0.75 pt

Partie II :
On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x) = x - \ln 2 + \ln(1 + e^{-2x})$.
Soit $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. 0.25 pt
2. 1. Montrer que $f$ est une fonction paire. 0.5 pt
   2. Vérifier que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et déduire $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. 0.5 pt
3. 1. Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - \ln 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $+\infty$. 0.5 pt
   2. Déduire que la droite $(\Delta')$ d'équation $y = -x - \ln 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $-\infty$. 0.5 pt
4. 1. Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $f'(x) = \frac{g(x)}{1 + e^{2x}}$. 0.75 pt
   2. Déduire que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0, +\infty[$ et strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty, 0]$. (On peut utiliser la question 1 de la Partie I.) 0.5 pt
5. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $f(x) = x$. 0.5 pt
   2. Montrer pour tout $x$ de $[0, +\infty[$ : $f(x) \le x$. 0.5 pt
   3. Étudier la position de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ et la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$. 0.5 pt
   4. Déduire que pour tout $x$ de $[0, +\infty[$ : $0 \le f(x) - (x - \ln 2) \le \ln 2$. 0.5 pt
6. Le graphique ci-dessous représente la courbe $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
   
   1. Reproduire le graphique ci-dessus puis tracer dans le même repère, la droite $(\Delta')$ et compléter la courbe $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty, 0]$. 0.5 pt
   2. Soit $\mathcal{A}$, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par $(\mathcal{C}_f)$, la droite $(\Delta)$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. Montrer que $0 \le \mathcal{A} \le \ln 2$. 0.5 pt
7. Soit $\varphi$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$.
   1. Montrer que $\varphi$ admet une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera. (L'expression de $\varphi^{-1}(x)$ n'est pas demandée.) 0.5 pt
   2. Vérifier que $\varphi^{-1}\left(\ln\left(\frac{5}{4}\right)\right) = \ln 2$. 0.25 pt
   3. Montrer que $\varphi^{-1}$ est dérivable en $\ln\left(\frac{5}{4}\right)$ et que $(\varphi^{-1})'\left(\ln\left(\frac{5}{4}\right)\right) = \frac{5}{3}$. 0.5 pt

Partie III :
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0 = \ln 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, pour tout entier naturel $n$.

1. Montrer par récurrence que $0 < u_n \le \ln 2$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. 0.5 pt
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. (On peut utiliser la question 5.b de la Partie II.) 0.5 pt
3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 0.75 pt